Bilangan 32 bit & 64 bit Floating Point

Bilangan Floating-Point 32-bit (single-precision)

Bilangan floating-point 32-bit tersusun atas (Gambar 0.1↓):

• 1 bit tanda (S),
• 8 bit eksponen (E), dan
• 23 bit untuk mantisa (M)

Figure 0.1 Format bilangan floating-point 32-bit

Bit tanda (S) menyatakan bilangan positif jika S=0 dan negatif jika S=1.

Field eksponen adalah radix 2. Nilai eksponen bisa negatif atau positif untuk menyatakan bilangan yang sangat kecil atau sangat besar. Format eksponen yang digunakan adalah excess-127. Nilai 127 ditambahkan dari nilai eksponen sebenarnya (Exp), yaitu Exp = E − 127. Dengan excess-127, nilai E akan selalu positif dengan jangkauan 0 sampai 255.

• Nilai ekstrem adalah untuk E=0 dan E=255
  • E=0 menyatakan bilangan NOL (jika M = 0) dan subnormal (jika M ≠ 0)
  • E=255 menyatakan bilangan TAK TERHINGGA (jika M = 0) dan NAN/not-a-number (jika M ≠ 0);
• Nilai normal adalah 1 ≤ E ≤ 254 yang menunjukkan nilai eksponen sebenarnya dari -126 sampai 127
  • Contoh: Emin(1) =  − 126, E(50) =  − 77 dan Emax(254) = 127;

Eksponen (E)	Mantissa=0	Mantissa ≠ 0	Persamaan
0	0, -0	subnormal	( − 1)S × 0.bit  signifikan  × 2 − 126
1-254	Nilai ternormalisasi		( − 1)S × 1.bit  signifikan × 2E − 127
255	∞	bukan bilangan (NAN=not-a-number)

Table 0.1 Nilai eksponen di format floating-point 32-bit

Saat nilai mantisa (M) dinormalisasi, most significant bit (MSB) selalu 1. Namun, bit MSB ini tidak perlu disertakan secara eksplisit di field mantisa (Tabel 0.1↑). Nilai mantisa yang sebenarnya adalah 1.M, sehingga nilai bilangan floating-pointnya menjadi:

Di bilangan subnormal, nilai mantisa sebenarnya adalah 0.M, sehingga bilangan floating-pointnya menjadi:

Dengan mantissa 23 bit ini ditambah 1 bit implisit, total presisi dari representasi floating-point 32-bit ini adalah 24 bit atau sekitar 7 digit desimal (yaitu 24 × log10(2) = 7.225).

Dalam pemrograman, suatu bilangan single-precision ini dideklarasikan dengan tipe data float (bahasa C, C++, Java) dan single (Pascal, VB, MATLAB).

float anumber; // 32-bit single precision number

int main(){

anumber = -1.1245;

...

return 0;

}

Bilangan Floating-Point 64-bit (double-precision)

Bilangan floating-point 64-bit tersusun atas (Gambar 0.6↓):

• 1 bit tanda (S),
• 11 bit eksponen (E), dan
• 52 bit untuk mantisa (M)

Figure 0.6 Format bilangan floating-point 64-bit

Seperti halnya dengan bilangan single-precission, bit tanda (S) menyatakan bilangan positif jika S=0 dan negatif jika S=1. Field eksponen adalah radix 2. Nilai eksponen bisa negatif atau positif untuk menyatakan bilangan yang sangat kecil atau sangat besar. Format eksponen yang digunakan adalah excess-1023. Nilai 1023 ditambahkan dari nilai eksponen sebenarnya (Exp), yaitu Exp = E − 1023. Dengan excess-1023, nilai E akan selalu positif dengan jangkauan 0 sampai 2047.

• Nilai ekstrem adalah untuk E = 0 dan E = 2047
  • E=0 menyatakan bilangan NOL (jika M = 0) dan subnormal (jika M ≠ 0)
  • E=2047 menyatakan bilangan TAK TERHINGGA (jika M = 0) dan NAN/not-a-number (jika M ≠ 0) (Tabel 0.2↓);
• Nilai normal adalah 1 ≤ E ≤ 2046 yang menunjukkan nilai eksponen sebenarnya dari -1022 sampai 1023
  • Contoh: Emin(1) =  − 1022, E(100) =  − 923 dan Emax(2046) = 1023;

Eksponen (E)	Mantissa=0	Mantissa ≠ 0	Persamaan
0	0, -0	subnormal	( − 1)S × 0.bit signifikan × 2 − 1022
1-2046	Nilai ternormalisasi		( − 1)S × 1.bit signifikan × 2E − 1023
2047	∞	bukan bilangan (NAN=not-a-number)

Table 0.2 Nilai eksponen di format floating-point 64-bit

Nilai mantisa (M) dinormalisasi, yang berarti most significant bit (MSB) selalu 1. Bit MSB ini tidak perlu disertakan secara eksplisit di field mantisa. Nilai mantisa sebenarnya adalah 1.M, sehingga nilai bilangan floating-pointnya menjadi:

Dengan mantissa 52 bit ini ditambah 1 bit implisit, total presisi dari representasi floating-point 32-bit ini adalah 53 bit atau sekitar 16 digit desimal (yaitu 53 × log10(2) = 15.995).

Dalam pemrograman, suatu bilangan single-precision ini dideklarasikan dengan tipe data double (bahasa C, C++, Java).

double anumber; // 64-bit double precision number

int main(){

anumber = -1.1245;

...

return 0;

}